等比数列的通项公式

等比数列是一种数列，其中每个后继项都是前一项乘以同一常数r。 通项公式是一种公式，它允许我们直接计算数列中的任何一项，而无需知道数列中的前几项。 因此，等比数列的通项公式可以让我们计算数列中的任何一项，只要我们知道靠前项和公比。

等比数列的通项公式可以表示为：

an = a1 × r^(n-1)

其中an表示数列中的第n项，a1表示数列中的靠前项，r表示公比。通过这个公式，我们可以使用靠前项和公比来计算数列中的任何一项。

让我们看一个例子，假设我们有一个等比数列，靠前项为2，公比为3。我们想计算数列中的第5项。使用通项公式，我们可以计算第5项：

a5 = 2 × 3^(5-1) = 162

因此，数列中的第5项为162。

现在让我们证明等比数列的通项公式。我们可以使用数学归纳法来证明这个公式。

首先，我们需要证明当n = 1时，公式成立。当n = 1时，an = a1 × r^(n-1) = a1 × r^(1-1) = a1，这是正确的。

接下来，我们假设公式对于任意k≥1都成立，即：

ak = a1 × r^(k-1)

现在我们需要证明当n = k+1时，公式也成立。我们可以使用前面的假设来计算a(k+1)：

a(k+1) = a1 × r^k × r = a1 × r^(k+1-1)

因此，我们已经证明了等比数列的通项公式。

总之，等比数列的通项公式是an = a1 × r^(n-1)，它允许我们计算数列中的任何一项，只要我们知道靠前项和公比。我们可以使用数学归纳法证明这个公式的正确性。