二项式展开公式

(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n

二项式展开公式

二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。

二项展开式的性质

1、项数：n+1项；

2、第k+1项的二项式系数是Cₙᵏ；

3、在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等；

4、如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。

用数学归纳法证明二项式定理

证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b

右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边

假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1na(n-1)b十…十Crna(n-r)br十…十Cnnbn成立；

则当n=k+1时,（a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1na(n-1)b十…十Crna(n-r)br十…十Cnnbn]*(a+b)

=[C0nan＋C1na(n-1)b十…十Crna(n-r)br十…十Cnnbn]*a＋[C0nan＋C1na(n-1)b十…十Crna(n-r)br十…十Cnnbn]*b

＝[C0na(n+1)＋C1nanb十…十Crna(n-r+1)br十…十Cnnabn]+[C0nanb＋C1na(n-1)b2十…十Crna(n-r)b(r+1)十…十Cnnb(n+1)]

＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn)a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnnb(n+1)]

＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1)a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1)b(n+1)

∴当n=k+1时，等式也成立；

所以对于任意正整数，等式都成立。

此定理指出

1、(a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

2、二项展开式的通项公式(简称通项)为C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示(其中"r+1"为角标)，即通项为展开式的第r+1项(如下图)，即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形

二项式定理(BinomialTheorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。

(a+b)n的系数表为

1n=0

11n=1

121n=2

1331n=3

14641n=4

15101051n=5

1615201561n=6

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(左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和)

补充

在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在***数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。

杨辉三角

1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。

1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。